El teorema de Pitágoras
Objetivos de aprendizaje
· Usar el Teorema
de Pitágoras para encontrar el lado desconocido de un triángulo rectángulo.
· Resolver
problemas de aplicación con el Teorema de Pitágoras
Introducción
Hace mucho tiempo, un matemático Griego
llamado Pitágoras descubrió
una propiedad interesante de los triángulos
rectángulos: la suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos es igual al cuadrado de
la longitud de la hipotenusa del
triángulo. A esta propiedad — que tiene muchas aplicaciones en la ciencia, el
arte, la ingeniería y la arquitectura — se le conoce como Teorema de Pitágoras.
Echemos un vistazo a cómo este teorema puede ayudarnos a saber más sobre
la construcción de los triángulos. Y la mejor parte — ni siquiera necesitas
hablar Griego para aplicar el descubrimiento de Pitágoras
Antes de hablar de la definición del teorema de Pitágoras, debemos recordar dos ideas básicas de la matemática y específicamente de la geometría:
Luego de recordar estas dos premisas básicas de la teoría de triángulos, estamos en capacidad de analizar la pregunta ¿qué es el teorema de Pitágoras?
El teorema de Pitágoras es una propuesta matemática que se puede demostrar de distintas maneras; este teorema indica la relación existente entre los catetos y la hipotenusa de un triángulo rectángulo en donde si elevamos al cuadrado cada uno de los dos catetos y sumamos ambos, tendremos una medida igual al cuadrado de la hipotenusa.
Es decir, si llamamos a la hipotenusa h y a cada uno de los catetos a y b, tendremos:
a^2 + b^2 = h^2
El teorema de Pitágoras
Antes de hablar de la definición del teorema de Pitágoras, debemos recordar dos ideas básicas de la matemática y específicamente de la geometría:
- La definición de un triángulo rectángulo; en palabras simples, un triángulo rectángulo es aquel triángulo que tiene 90° por medida en uno de sus tres ángulos internos.
- Los lados en un triángulo rectángulo tienen nombres, de esta forma llamamos hipotenusa al lado de mayor tamaño que además es el que siempre se encuentra en el lado opuesto al ángulo interno que es el que tiene 90° como medida, los otros dos lados reciben la denominación de catetos y la intersección de ambos se lleva a cabo en el ángulo rectángulo interno característico de todo triángulo rectángulo.
Luego de recordar estas dos premisas básicas de la teoría de triángulos, estamos en capacidad de analizar la pregunta ¿qué es el teorema de Pitágoras?
El teorema de Pitágoras es una propuesta matemática que se puede demostrar de distintas maneras; este teorema indica la relación existente entre los catetos y la hipotenusa de un triángulo rectángulo en donde si elevamos al cuadrado cada uno de los dos catetos y sumamos ambos, tendremos una medida igual al cuadrado de la hipotenusa.
Es decir, si llamamos a la hipotenusa h y a cada uno de los catetos a y b, tendremos:
a^2 + b^2 = h^2
Las aplicaciones del teorema de Pitágoras son muchas y vienen ayudando a las distintas civilizaciones desde su descubrimiento realizado por Pitágoras de Samos hace ya bastantes siglos, incluso antes de la era Cristiana. Lo fácil que resulta aprender esta fórmula matemática hace que se pueda enseñar desde los años básicos de educación en donde el conocimiento y aplicación de la fórmula del teorema de Pitágoras se afianza y se desarrolla principalmente en las aulas de clase con el paso de los años.
Demostración geométrica del teorema de Pitágoras
Partimos del triángulo rectángulo genérico representado anteriormente para enunciar el teorema. Entonces, construimos un cuadrado cuyo lado mida la suma de los catetos, es decir, un cuadrado de lado . Estaremos de acuerdo que el área de este cuadrado es .
Hemos puesto las medidas de y de tal forma que si trazamos las hipotenusas construimos cuatro triángulos rectángulos como el genérico, quedando un cuadrado interno de lado .
Ahora podemos escribir el área del cuadrado grande, que antes hemos calculado como (b+c)², pero haciendo la suma de las áreas de los cuatro triángulos más el cuadrado interno.
Tenemos cuatro triángulos rectángulos de área At= b*c / 2 y un cuadrado de área a² . Nos queda pues la siguiente igualdad:
Desarrollamos a los dos lados
Con lo que acabamos de obtener la relación que enuncia el teorema de Pitágoras.
Puedes usar el Teorema de Pitágoras para encontrar la longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo si conoces la longitud de los otros dos lados del triángulo, llamados catetos. Puesto de otra manera, si conoces las longitudes de a y b, puedes encontrar c.
Encontrando la longitud de la hipotenusa
Puedes usar el Teorema de Pitágoras para encontrar la longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo si conoces la longitud de los otros dos lados del triángulo, llamados catetos. Puesto de otra manera, si conoces las longitudes de a y b, puedes encontrar c.
En el triángulo anterior, tenemos las medidas de los catetos a y b: 5 y 12, respectivamente. Puedes usar el Teorema de Pitágoras para encontrar el valor de la longitud de c, la hipotenusa.
Usando la fórmula, puedes encontrar que la longitud de c, la hipotenusa, es 13.
A continuación se presenta un vídeo de como se aplica el Teorema de Pitagoras en una serie de ejercicios:
A continuación se presenta un vídeo de como se aplica el Teorema de Pitagoras en una serie de ejercicios:
Ejemplos de la aplicación del Teorema en la vida cotidiana:
Descargar ejercicios que se trabajaran durante clase, además de una autoevalución que se implementara:
https://drive.google.com/open?id=1Vrj6t849BaYKWNasCiBzCPEwZw0UWVdy
https://drive.google.com/open?id=1tIMKPX5bUPS4C_tnpm7kKsAscegoUBus
https://drive.google.com/open?id=1tIMKPX5bUPS4C_tnpm7kKsAscegoUBus
