Sistemas de medida de ángulos: RADIANES

Un radián es la unidad de medida de un ángulo con vértice en el centro de una circunferencia y cuyos lados delimitan un arco de circunferencia que tiene la misma longitud que el radio. El radian (rad) es la unidad de medida para ángulos en el Sistema Internacional de Unidades (S.I.).

Un RADIÁN es el ángulo que aparece cuando la longitud del arco de la circunferencia, mide lo mismo que el radio. El radián no depende del del tamaño de la circunferencia, ya que recuerden que en el tema pasado se establecio que la circunferencia tiene una longitud de 360°, con esto se puede resumir que;  un radian equivale al ángulo central que abarca un arco de longitud igual al radio.

Bien, ya que sabemos qué es un radián vamos a relacionarlo con la otra unidad de medida de ángulos que conocemos: el grado sexagesimal (o simplemente grado). La equivalencia entre estas dos medidas es la siguiente:

180°= π rad

Por tanto, un radian corresponde a, aproximadamente, 57.295°

EQUIVALENCIA DE RADIANES Y GRADOS SEXAGESIMALES

Antes de pasar a la equivalencia entre los dos sistemas mas usados para medir ángulos, hay que recordar que es el Sistema sexagesimal: Es un sistema de numeración en base 60. Es un sistema que se usa para medida de ángulos y de tiempo. En el sistema internacional de medidas la unidad de ángulo es el radián y la unidad de tiempo es el segundo.

Medida de ángulos:  1° (grado) = 60’ (minutos); 1’ (minuto) = 60” (segundos).

Para comprender el concepto de un grado sexagesimal se parte de que un ángulo recto mide 90
grados sexagesimales. Si el ángulo recto se divide en 90 partes iguales, cada parte tiene una medida
de un grado sexagesimal.

Ya hemos estado trabajando con este sistema, puesto que lo utilizamos en los temas pasado par amedir e incluso clasificar ángulos y triángulos. Pero ahora, empezaremos a realizar la equivalencia del sistema sexagesimal al sistema cíclico, es decir: de GRADOS A RADIANES.

La expresión general que permite relacionar las medidas de un ángulo expresadas en grados y radianes es la siguiente:

G	=	R
360º		2 · π

Donde,

G   es la medida del ángulo expresada en grados sexagesimales (º)

R   es la medida del ángulo expresada en radianes (rad)

Si lo que se desea es calcular los grados sexagesimales a partir de radianes, se despeja G de la expresión anterior, quedando:

	R
G  =		· 360º
	2·π

-  EJEMPLO 1:  Pasar 1 radián a grados sexagesimales

Sustituyendo el valor de 1 radián en la expresión anterior resulta:

	1
G  =		· 360º  =  57,29578º
	2·π

Por tanto, 1 rad = 57,29578º

-  EJEMPLO 2:  Pasar π/4 radianes a grados sexagesimales

Sustituyendo π/4 en la expresión anterior se obtiene:

	π/4
G  =		· 360º  =  45º
	2·π

Por tanto, π/4 rad = 45º

VÍDEOS EXPLICANDO LA EQUIVALENCIA:

BLOQUE II.- ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA.

Después de ver las posiciones relativas de dos circunferencias, hoy vamos a estudiar los ángulos de una circunferencia.

En la enseñanza de la Geometría se comprenden de forma fragmentada los conceptos y teoremas, y su utilización en la resolución de problemas es muy limitada. La Geometría está encaminada a prepararse para resolver problemas geométricos de construcción, de cálculo y de demostración a partir de las relaciones de igualdad de triángulos, en la circunferencia y la semejanza.

El tratamiento de estos conceptos en la solución de problemas de este tipo, posibilita la formación de una visión global inicial de las habilidades matemáticas para calcular longitudes de segmentos, arcos y amplitudes de ángulos en situaciones dadas.

Los ángulos que intervienen en una circunferencia es el punto de unión entre las figuras geométricas y el circulo, recordando que los triángulos (figura central de la geometría) contiene dos puntos centrales que implican una circunferencia, ahora bien se pueden podemos clasificarlos en 5, los cuales tienen características propias y formula para calcular su arco o bien su angulo, que están relacionados, y estos ángulos son los siguientes:

Ángulo central: Es el ángulo que tiene su vértice en el centro de la circunferencia, es decir, un ángulo determinado por dos semirrectas que tienen el origen en el centro, y por tanto son radios de la circunferencia. Los puntos correspondientes al círculo abarcados por el ángulo central se llaman sector circular correspondiente a dicho ángulo.
Diremos que dos ángulos son equivalentes cuando sus ángulos centrales correspondientes sean iguales.



Característica:    La medida del arco AB es la del ángulo central AOB.
Arco AB = Angulo AOB


Ángulo inscrito: Es el ángulo cuyo vértice se encuentra en un punto cualquiera de la circunferencia. Además los lados de un ángulo inscrito son secantes a la circunferencia. El valor del ángulo central es la mitad del ángulo inscrito que abarca el mismo arco.
Si el ángulo central es un ángulo de 180º, entonces el ángulo inscrito es un ángulo de 90º, es decir, un ángulo recto.




Característica: El ángulo inscrito mide la mitad que el arco que comprende.


Ángulo semiinscrito: Es el ángulo cuyo vértice es un punto de la circunferencia y uno de sus lados es tangente a la circunferencia mientras que el otro es secante a ella. El valor de un ángulo semiinscrito es igual al del ángulo inscrito que abarca.



Característica:  vale la mitad que el ángulo del centro.


Ángulo exterior: Es el ángulo que tiene su vértice fuera de la circunferencia, es decir que la distancia del vértice al centro es mayor que el radio de la circunferencia; y sus lados son secantes a la circunferencia. El valor de un ángulo exterior es la semidiferencia de los arcos que abarca.



Caracteristica: La medida del ángulo exterior es la semidiferencia de los arcos que abarca.

Ángulo interior: Es el ángulo cuyo vértice está en la parte interior de la circunferencia, es decir, que la distancia del vértice al centro de la circunferencia es menor que el radio. El valor de un ángulo interior es igual a la semisuma de los ángulos que comprenden él mismo y su opuesto.




Característica; La medida del ángulo interior es la semisuma de los arcos que comprenden él y su opuesto.


En esta parte te presentaremos algunos ejercicios:


1.- Calcular : “x”


Respuesta: 70, ya que el angulo inscrito es la mitad de un angulo central.

Ahora: ANALIZAR LOS VÍDEOS EN DONDE SE EXPLICA COMO CALCULAR LA APRTURA DEL ANGULO, PERO QUE ES IMPORTANTE PODER IDENTIFICAR DE QUE ANGULO SE TRATA.

BLOQUE II.- POSICIÓN RELATIVA DE DOS CIRCUNFERENCIAS

La posición relativa entre dos circunferencias viene determinada por la distancia entre sus centros (d) y el valor de sus radios R y R'. Se tienen los casos siguientes: Exteriores: La distancia entre los centros, d, es mayor que la suma de los radios. Las circunferencias no tienen puntos en común. Tangentes exteriores: La distancia entre los centros es igual a la suma de los radios. El centro de cada circunferencia es exterior a la otra y tienen un punto en común, punto de tangencia. Secantes: Tienen dos puntos en común. La distancia entre sus centros es menor que la suma de sus radios y mayor que su diferencia. Tangentes interiores: Tienen un punto en común y la distancia entre sus centros es igual que la diferencia de sus radios.  Interiores: No tienen ningún punto en común y la distancia entre sus centros es menor que la diferencia de sus radios. Interiores concéntricas: No tienen puntos en común y la distancia entre sus centros es cero (coinciden). Ahora, comparto video en donde se explica de forma visual.

BLOQUE II: ELEMENTOS DE LA CIRCUNFERENCIA

De manera formal, una circunferencia se define como el lugar geométrico de los puntos del plano equidistantes de otro, llamado centro de la circunferencia.

No debemos nunca confundir el concepto de círculo con el concepto de circunferencia, que en realidad una circunferencia es la curva que encierra a un círculo (la circunferencia es una curva, el círculo una superficie, (SE COMENTO EN CLASE: ÁREA Y PERÍMETRO).

También se puede definir como el lugar geométrico de los puntos del plano que están a la misma distancia de un punto fijo, llamado centro.

A continuación vemos una imagen de una circunferencia.

En realidad, y de manera más sencilla, una circunferencia es el conjunto de puntos situados en el plano todos a la misma distancia de un mismo punto central, al que llamaremos centro.

Los elementos mas importantes de la circunferencia son los siguientes:

• Centro.

• Diámetro

• Radio

• Cuerda

• Secante

• Tangente

• Arco

El circulo es la porción de plano limitada por una circunferencia. Dentro de el se puede distinguir diferentes figuras, que sin porciones de un circulo, los cuales se pueden nombrar como:

• Segmento circular

• Sector circular

• Semicírculo

• Corona circular

• Trapecio circular.